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树状数组之区间最值
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发布时间:2019-03-09

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树状数组之区间最值

原理

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数学原理:

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建立树状数组

利用上面的性质,在树状数组的尾部插入数据,来建立一个树状数组

void push(int pos){        int i,lb = lowbit(pos);     c[pos] = a[pos];     for(i=1;i
<<=1){ c[pos] = max(c[pos],c[pos-i]); }}

树的维护

void update(int pos,int v){        int i,lb;     c[pos] = a[pos] = v;     lb = lowbit(pos);     for(i=1;i
<<=1){ //利用孩子更新自己 c[pos] = c[pos] > c[pos-i] ? c[pos] : c[pos-i]; } int pre = c[pos]; pos+=lowbit(pos);//父亲的位置 /* 更新父亲 */ while(pos <= n){ if( c[pos] < pre){ //更新的父亲 c[pos] = pre; pos +=lowbit(pos); } //没有更新父亲 else break; } }

查询最值

   设 query(x,y)query(x,y) 求区间 [x,y] 之间的最值, 已知 c[x] 表示 [x−lowbit(x)+1,x] 之间的最值,那如何求区间 [x,y] 的最值呢?

在这里插入图片描述

我们不难发现:

  • 如果求区间 [1,8] 的最值,就需要点 c[8]
  • 如果求区间 [1,7] 的最值,就需要点 c[7],c[6],c[4]
  • 如果求区间 [2,7] 的最值,就需要点 c[7],c[6],a[4],c[3],a[2]
  • 如果求区间 [2,2] 的最值,就需要点 a[2]如果求区间 [2,8] 的最值,就需要点 a[8],c[7],c[6],a[4],c[3],a[2]

所以,我们发现下面的规律,因为 y−lowbit(y)+1y−lowbit(y)+1 表示 c[y]c[y] 结点所管辖范围的最左边的点若

  • y−lowbit(y)+1>=xy−lowbit(y)+1>=x, 则query(x,y)=max(c[y],query(x,y−lowbit(y)))query(x,y)=max(c[y],query(x,y−lowbit(y)));
  • 若 y−lowbit(y)+1<xy−lowbit(y)+1<x, 则 query(x,y)=max(a[y],query(x,y−1))query(x,y)=max(a[y],query(x,y−1));
  • 边界 x>y
int query(int x,int y){       int res = -1;     while(x <= y){            int nx = y - lowbit(y)+1; //最左边的点         if(nx >= x ){                res = res < c[y] ? c[y] :res; //判断是否最优            y = nx-1; // 下一个求解区间         } else {    // nx < x             res = res < a[y] ? a[y] :res; //判断是否最优            y--;        }     }     return res;}

总结

特点:

  • 每一次在尾部添加一个数值,时间为 log(n)
  • 可以保留原数组的相对应位置不变
  • 如果不进行单点修改,速度会更快

   所以,树状数组求区间最值特别适合那些:一边在尾部添加数据,一边查询的题目

核心代码

const int maxn = 1e6 + 5, maxe = 1e6 + 5; //点与边的数量int n, m;int N = maxn;int a[maxn], c[maxn]; // a是原数组inline int lowbit(int x) {    return x & -x; }inline int fa(int p) {    return p + lowbit(p); }inline int left(int p) {    return p - lowbit(p); }inline int g(int a, int b) {    return a>b ? a : b; }void update_by_child(int p, int v) {    //alias push    c[p] = a[p] = v;    int lb = lowbit(p);    for (int i = 1; i < lb; i <<= 1)        c[p] = g(c[p], c[p - i]);}void update(int p, int v) {       update_by_child(p, v);    int t = c[p];    for (p = fa(p); p <= N; p = fa(p)) {       if (g(t, c[p])) c[p] = t;       else break;    }}int query(int l, int r) {    // 求区间最值    int ret = a[l];    for (; l <= r; ) {          int next = left(r) + 1;       if (next >= l) ret = g(ret, c[r]), r = next - 1;       else            ret = g(ret, a[r]), r--;    }    return ret;}

例题

hdu[1754] I Hate It

思路: 利用树状数组求区间最值

在这里插入图片描述

#include
#include
#include
#include
using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 1e6 + 5, maxe = 1e6 + 5; //点与边的数量int n, m;int N = maxn;int a[maxn], c[maxn]; // a是原数组inline int lowbit(int x) { return x & -x; }inline int fa(int p) { return p + lowbit(p); }inline int left(int p) { return p - lowbit(p); }inline int g(int a, int b) { return a>b ? a : b; }void update_by_child(int p, int v) { //alias push c[p] = a[p] = v; int lb = lowbit(p); for (int i = 1; i < lb; i <<= 1) c[p] = g(c[p], c[p - i]);}void update(int p, int v) { update_by_child(p, v); int t = c[p]; for (p = fa(p); p <= N; p = fa(p)) { if (g(t, c[p])) c[p] = t; else break; }}int query(int l, int r) { // 求区间最值 int ret = a[l]; for (; l <= r; ) { int next = left(r) + 1; if (next >= l) ret = g(ret, c[r]), r = next - 1; else ret = g(ret, a[r]), r--; } return ret;}int main() { while (1) { memset(a, 0, sizeof(a)); memset(c, 0, sizeof(c)); if (scanf("%d%d", &n, &m) == EOF) break; for (int i = 1; i <= n; ++i) { int t; scanf("%d", &t); update_by_child(i, t); //初始化原数组与树状数组 } char s[10]; for (int i = 1; i <= m; ++i) { scanf("%s", s); int x, y; if (s[0] == 'Q') { scanf("%d%d", &x, &y); ll ans = query(x, y); printf("%lld\n", ans); } else { scanf("%d%d", &x, &y); update(x, y); } } } return 0;}

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